Fungsi Kuadrat

Fungsi Kuadrat

Diposting pada

Pengertian Fungsi Kuadrat

Fungsi Kuadrat – sudah tahu apa itu fungsi kuadrat? Ya, sesuai namanya, fungsi kuadrat merupakan suatu fungsi di mana pangkat tertinggi dari variabelnya adalah dua.


Fungsi Kuadrat

Fungsi Kuadrat adalah pemetaan dari daerah asal (domain) ∈ 𝑅 ke tepat satu daerah hasil (range) yang dinyatakan dengan rumus:

𝑦  = 𝑓  π‘₯Β  = π‘Žπ‘₯2 + 𝑏π‘₯Β  + 𝑐

dimana a, b, dan c adalah konstanta bilangan riil, π‘Ž β‰  0. Dengan 𝑓(π‘₯) atau 𝑦 disebut dengan fungsi. Bila π‘₯1dan π‘₯2 adalah absis titik potong pada sumbu x maka fungsi kuadrat dapat ditulis sbb:

𝑦 = 𝑓 π‘₯ = π‘Ž(π‘₯ βˆ’ π‘₯1)(π‘₯ βˆ’ π‘₯2)

Contoh 1:

Akan ditunjukkan fungsi kuadrat 𝑓 π‘₯ = 𝑦 = π‘₯2 + 4π‘₯ + 3 bahwa untuk setiap nilai π‘₯ memetakan ke satu nilai 𝑦.

Penyelesaian:

untuk π‘₯ = βˆ’3 β†’ 𝑓 π‘₯ = (βˆ’3)2 + 4 βˆ’3 + 3 = 0 untuk π‘₯ = βˆ’2 β†’ 𝑓 π‘₯ = βˆ’2 2 + 4 βˆ’2 + 3 = βˆ’1 untuk π‘₯ = βˆ’1 β†’ 𝑓 π‘₯ = (βˆ’1)2 + 4 βˆ’1 + 3 = 0 untuk π‘₯ = 0Β Β Β Β Β Β Β Β  β†’ 𝑓  π‘₯Β Β  = (0)2 + 4Β  0Β Β  + 3 = 3 untuk π‘₯ = 1 β†’ 𝑓  π‘₯Β Β  = (1)2 + 4Β  1Β Β  + 3 = 8 untuk π‘₯ = 2 β†’ 𝑓 π‘₯Β  = (2)2 + 4 2 + 3 = 15

grafik fungsi kuadrat

Pada fungsi kuadrat ini akan diselidiki mengenai:

  1. Pembuat nol 𝑓(π‘₯) atau harga nol 𝑓(π‘₯).
  2. Nilai-nilai ekstrim dari 𝑓(π‘₯).
  1. Pembuat nol dari 𝑓 π‘₯ = π‘Žπ‘₯2 + 𝑏π‘₯ + 𝑐

Maksud pembuat nol disini adalah nilai π‘₯ yang menyebabkan 𝑓 π‘₯Β  = 0. Untuk mencari nilai π‘₯ dapat menggunakan rumus persamaan kuadrat sebagai berikut:

fungsi kuadrat

  • Jika 𝐷 > 0, maka akan didapat dua nilai pembuat nol yaitu π‘₯1dan π‘₯2, π‘₯1 β‰  π‘₯2.

fungsi kuadrat2fungsi kuadrat3

  • Jika 𝐷 < 0, maka tidak ada nilai pembuat

fungsi kuadrat4

Fungsi seperti ini (D < 0) mempunyai 2 harga definit yaitu :

  1. Definit Positif

Fungsi akan selalu berharga positif untuk setiap harga x atau grafik fungsi seluruhnya berada diatas sumbu x. Syaratnya a > 0, D < 0

  1. Definit Negatif

Fungsi akan selalu berharga negatif untuk setiap harga x atau grafik fungsi seluruhnya berada dibawah sumbu x. Syaratnya a < 0, D < 0

  1. Nilai Ekstrim

Nilai Ekstrim ada dua kategori yaitu ekstrim maksimum (π‘¦π‘šπ‘Žπ‘₯ ) dan ekstrim minimum (π‘¦π‘šπ‘–π‘› ).

𝑦  = 𝑓  π‘₯Β  = π‘Žπ‘₯2 + 𝑏π‘₯Β  + 𝑐

Dapat diubah menjadi:

fungsi kuadrat5

ciri-ciri fungsi kuadrat

Contoh 1:

Jika 𝑓 π‘₯ = π‘₯2 βˆ’ 𝑏π‘₯ + 7 puncaknya berabsis 4, maka ordinatnya adalah…

contoh fungsi kuadrat

Contoh 2:

Tentukan fungsi kuadrat yang melalui titik potong pada sumbu x yaitu -2 dan 5, serta memotong sumbu y pada (0,10).

Penyelesaian:

Titik potong pada sumbu x: (-2,0) dan (5,0) dan titik potong pada sumbu y: (0,10)

Fungsi kuadratnya yaitu:

contoh fungsi kuadrat2

Contoh 3:

Nilai tertinggi fungsi 𝑓 π‘₯ = π‘Žπ‘₯2 + 4π‘₯ + π‘Ž ialah 3, sumbu simetrinya adalah…

Penyelesaian:

Karena titik puncaknya adalah maksimum, maka pilih π‘Ž < 0, yaitu a = -1. Sehingga sumbu simetrinya adalah:

contoh fungsi kuadrat3

Contoh 4:

Jika fungsi kuadrat 𝑓 π‘₯ = 2π‘Žπ‘₯2 βˆ’ 4π‘₯ + 3π‘Ž mempunyaΒ  nilaiΒ  maksimumΒ  1,Β  maka 27π‘Ž2 βˆ’ 9π‘Ž = β‹―

contoh fungsi kuadrat4

Contoh 5:

Fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (-1,3) dan titik terendahnya sama dengan puncak grafik 𝑓 π‘₯ = π‘₯2 + 4π‘₯ + 3 adalah…

contoh fungsi kuadrat5

Contoh 6:

Tentukan a agar fungsi f(x)Β  = x2Β Β Β Β  +4xΒ  +Β  (a – 3) harganya selalu positif untuk setiap harga x ?

Penyelesaian :

Definit positif β†’ syaratnyaΒ  π‘ŽΒ  > 0 sudah dipenuhi

D < 0 β†’ 16 – 4 (1) (a – 3) < 0

16 – 4a + 12 < 0

-4a < 0

a > 7

  1. Grafik Fungsi Kuadrat

Himpunan titik-titik (x,y) yang memenuhi 𝑦 = 𝑓(π‘₯) = π‘Žπ‘₯2 + 𝑏π‘₯ + 𝑐, a β†’ 0 adalah parabola. Sedangkan 𝑦 = 𝑓(π‘₯) = π‘Žπ‘₯2 + 𝑏π‘₯ + 𝑐 disebut persamaan parabola.

Untuk melukis grafik fungsi :

𝑦 = 𝑓(π‘₯) = π‘Žπ‘₯2 + 𝑏π‘₯Β  +Β  𝑐

Diperlukan syarat-syarat sebagai berikut :

  • Titik potong dengan sumbu x

Syarat f(x) = 0 β†’ ax2 + bx + c = 0

(xΒ  –  x1) (xΒ  –  x2)Β Β  β†’ (x1, 0) dan (x2, 0)

  • Titik potong dengan sumbu y

Syarat x = 0Β Β Β Β Β Β Β Β  β†’ Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β  f(0) = a(0)2 + b (0) + c

f(x) = c β†’ (0,c)

  • Sumbu Simetri

Sumbu simetrinya adalah : Sumbu Simetri

  • Titik balik / Titik puncak

Titik balik atau titik puncak adalah:

titik balik atau titik puncak

Parabola mencapai titik balik minimum jika a >0 dan parabola mencapai titik balik maksimum jika a <0.

Contoh 7:

Gambarlah grafik fungsi: f (x) β†’ x2 β†’ 6x β†’ 8

Penyelesaian:

contoh fungsi kuadrat7

Jadi puncaknya adalah p (x,y) β†’ p (3,-1). Untuk mendapatkan gambar grafik yang baik kita menggunakan tabel fungsi sebagai berikut:

gambar grafik kuadrat

Demikian sedikit pembahasan mengenai Fungsi Kuadrat semoga dengan adanya pembahasan ini dapat menambah wawasan dan pengetahuan untuk kita semua, dan kami ucapkan Terima Kasih telah menyimak ulasan kami. Jika kalian merasa ulasan kami bermanfaat mohon untuk dishare πŸ™‚

Baca juga artikel lainnya tentang:

Baca Juga :  Fungsi Router